Rozhodnutia robíme každodenne celý svoj život. Či prebehnúť cez cestu, či si kúpiť auto, či zariskovať, či ísť na vysokú školu, či teraz investovať na finančných trhoch a mnohé ďalšie.

Pri chápaní pravdepodobnosti výskytu určitého javu sa častokrát rozhodujeme intuitívne na základe emócií. Rozhodovanie si často zjednodušujeme a nedokážeme z dvoch možností vybrať tú výhodnejšiu. To má potom za následok mnoho rozhodnutí v živote, aj investičných, ktoré nie sú optimálne.

Pasívne investovanie je spôsob ako nenechať emóciám priestor, aby ovplyvňovali naše rozhodnutia v otázke budovania majetku. Správne pochopenie, ako funguje pravdepodobnosť jednotlivých javov, má zásadný vplyv na odstránenie chýb z investovania.

Čo nás vie naučiť teória pravdepodobnosti ohľadom správnych investičných rozhodnutí?

Príklad na úvod

Zoberme si nasledujúce situácie a sami zodpovedzte, pre ktorú z možností by ste sa rozhodli:

1. Musíte si zvoliť jednu z možností pri hode mincou:

                 a) Ak padne vaša strana, dostanete 50 eur a keď druhá, tak 0 eur.

                 b) Dostanete 10 eur bez ohľadu na to, ktorá strana mince padne.

      Ktorú možnosť si vyberiete?

2. Musíte si zvoliť jednu z možností pri hode mincou:

                 a) Ak padne vaša strana zaplatíte 50 eur, keď druhá, tak 0 eur.

                 b) Zaplatíte 10 EUR bez ohľadu na to, ktorá strana mince padne.

      Ktorú možnosť si vyberiete?

K výsledkom sa vrátime na konci článku.

Koncept pravdepodobnosti

Čo všetko je potrebné brať do úvahy pri rozhodovaní, ak poznáme pravdepodobnosť výskytu určitého javu?

Existujú tri základné koncepty, ktoré súvisia s praktickým uplatňovaním pravidiel pravdepodobnosti pri hrách, pri investovaní, ale aj pri rôznych životných situáciách, ktoré sa bežne dejú okolo nás: 

• Pravdepodobnosť
• Matematické očakávanie
• Zákon veľkých čísiel

Pravdepodobnosť

Pri klasickom prístupe k teórii pravdepodobnosti sa pri jej skúmaní začínalo s analýzou hier, pri ktorých je rovnaká pravdepodobnosť určitého výsledku, ako napríklad hod mincou alebo kockou. 

Napríklad pri hode kockou môže nastať 6 rôznych výsledkov s rovnakou pravdepodobnosťou, keďže kocka má 6 rôznych strán. Potom pravdepodobnosť, že hodíme kockou a padne zrovna jedno konkrétne číslo, závisí od počtu, koľkokrát sa toto číslo na kocke vyskytuje a počtu strán kocky. 

Pravdepodobnosť toho, že na kocke padne napríklad číslo 2, je jedna ku šiestim. Kocka má 6 strán a číslo 2 je na nej zobrazené iba v jednom prípade.

Túto úvodnú definíciu pravdepodobnosti však môžeme ďalej rozvíjať. Pravdepodobnosť výskytu určitého javu sa približuje k určitej hodnote – limite, ktorá je vyjadrená ako podiel počtu, koľkokrát tento jav nastal, k celkovému počtu pokusov.

Ak hodíme kockou šesťkrát, tak očakávame, že číslo 2 padne raz. Častokrát sa však stane, že pri šiestich hodoch číslo 2 padne aj viackrát. Pri šiestich hodoch kockou môže dvojka padnúť pokojne 2-krát, 3-krát a v extrémnych prípadoch aj napríklad 6-krát. 

Ak však pokus opakujeme dostatočne veľakrát za sebou, tak číslo 2 padne približne toľkokrát, koľko by sme očakávali pri klasickej definícii pravdepodobnosti – raz zo šiestich pokusov (1:6 alebo pravdepodobnosť 0,16667).

Ak kockou hodíme desaťtsíckrát, tak počet padnutých dvojok bude blízko k jednej šestine z celkového počtu pokusov, konkrétne to bude niekde „okolo“ čísla 1667.

Matematické očakávanie

Druhou dôležitou ideou, ktorá súvisí s rozhodovaním na základe pravdepodobností, je koncept matematického očakávania.  

Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčet hodnôt, ktoré môže premenná dosiahnuť, vynásobených pravdepodobnosťou, s akou môže daná hodnota nastať. Týmto súčtom dostávame vážený priemer očakávaného výsledku. 

Matematické očakávanie (E) každej stávky vypočítame vynásobením každého možného výsledku pravdepodobnosťou, s akou môžu nastať, zvlášť pre pozitívne a zvlášť pre negatívne výsledky. Následne ich spočítame

E=p(ZISK)+(1-p)(STRATA)

Naoko zložitú definíciu najlepšie vysvetlím na príklade.

V prípade hodu kockou tiež vieme dosiahnuť záporný výsledok, pokiaľ by sme pri hre uskutočnili vklad na naše číslo, a to číslo by nepadlo. 

Očakávanie z takejto hry sa rovná súčtu pravdepodobnosti zisku vynásobenej hodnotou potenciálneho zisku a pravdepodobnosti straty vynásobenej výškou danej straty.

Ak by sme napríklad pri hode kockou stavili 10 eur na to, že padne konkrétne číslo a ak trafíme, získame dvojnásobok a keď neuhádneme správne číslo, o vklad prídeme, matematické očakávanie tejto stávky bude -13,33, ktoré sme vypočítali ako 1/6*20 + 5/6*(-20). Máme pravdepodobnosť 1:6, že správne trafíme číslo a získame zisk 10 eur, no v 5 zo 6 prípadov stratíme vložených 10 eur.

Existujú však aj iné hry, kedy reálne strácame pri negatívnom výsledku, napríklad pri rulete, ako ukazuje ďalší príklad.

Ukážme si na konkrétnom príklade, ako by takéto matematické očakávanie mohlo vyzerať v prípade stávky na konkrétnu farbu pri americkej rulete.

E=(18/38)(1)+(20/38)(-1)=-0,0526

Ak pri americkej rulete stavíte na jednu farbu, napríklad červenú, tak vyhráte v 18-tich prípadoch z 38 možných (americká ruleta obsahuje aj zelené čísla 0 a 00, pri ktorých nevyhráva nikto). Prehráte v 20-tich prípadoch z 38 možných výsledkov. Matematické očakávanie takejto hry je negatívne. Konkrétne pri každej stávke môžete očakávať, že v priemere stratíte 5,26% vašich peňazí.

Tento koncept je dôležitý aj pri investovaní. Celkový výsledok každej investície ovplyvňujú ich denné zmeny, ktoré sú náhodnými premennými v čase. Môžu mať rôzne hodnoty, plusové či mínusové a rovnako majú určitú pravdepodobnosť výskytu. 

Zákon veľkých čísiel

Posledným z konceptov, ktoré majú veľký vplyv pri aplikácii teórie pravdepodobnosti do praxe, je zákon veľkých čísiel.

Ten nám hovorí, že s narastajúcim počtom pokusov sa pomer výsledkov k celkovému počtu pokusov približuje k očakávanému výsledku vyjadrenému pravdepodobnosťou. Jednoducho, čím viac pokusov spravíte, či už v rulete alebo pri hode kockou, tým viac sa budú priemerné výsledky hodov približovať pravdepodobnosti očakávaných výsledkov.

V obrázku vidíme, ako sa pri 100 náhodných simuláciách priebehu 100 stávok alebo hier v rulete priebežný dosiahnutý výsledok približuje k očakávanému výsledku -5,26%. Čím ďalej hráme, tým viac sa pokusmi približujeme k teoretickej hodnote. 

V prípade 100 hier je však vidno, že stále dostatočný počet výsledkov je nad hodnotou nula a nie je vizuálne jednoznačné, že takáto hra má negatívne matematické očakávanie.

Ak však pokračujeme v hraní rulety ďalej, tak pribúdajúce priemerné výsledky sa ďalej zhlukujú pod nulovou hodnotou a stáva sa zreteľnejším, že stredná hodnota očakávaného výsledku bude negatívna. Táto skutočnosť sa dá pozorovať na ďalšom obrázku pri 1000 uskutočnených ruletových hrách v 100 náhodných simuláciách.

S pokračujúcim nárastom hier sa čoraz väčší počet priemerných výsledkov vyskytuje okolo hodnoty -0,0526. Pri 10 tis. hrách sa stredná hodnota výsledkov ustaľuje v okolí tejto hodnoty, ako naznačuje ďalší graf, a potvrdzuje tým negatívne matematické očakávanie.

Teraz môžeme tri koncepty spojiť dohromady a použiť ich pri analýze konkrétneho príkladu.

Prostredníctvom pravdepodobnosti dokážeme matematicky zanalyzovať náhodné javy pri rôznych hrách alebo stávkach. Matematické očakávanie prináša možnosť výpočtu celkového očakávaného výsledku opakujúcich sa hier alebo stávok. Zákon veľkých čísiel nám zároveň zabezpečuje, že konečný výsledok série stávok sa bude približovať k očakávanému výsledku.

Praktický príklad

Negatívne matematické očakávanie nemusí nevyhnutne znamenať, že v danej hre budeme hneď od začiatku neúspešní. Vzhľadom na uvedené fakty je skôr dôležitý časový rámec, ako dlho hráme.

Aj pri hre s negatívnym matematickým očakávaním dokážeme v krátkodobom horizonte dosiahnuť kladný výsledok. Ak máme šťastie!

Skúsme sa pozrieť, aké sú možné scenáre vývoja hry pri rulete pri 100 stávkach v 1000 simuláciách. Zelené čiary zobrazujú cestu ku konečnému výsledku, ktorý bol kladný. Oranžové čiary zobrazujú cestu k zápornému výsledku po 100 stávkach.

Intuitívne sa zdá, že pri nie príliš veľkom počte opakujúcich sa hier sú naše šance na úspech približne 50:50. Stále vidíme dostatočný počet zelených čiar v porovnaní s oranžovými.

Vidíme, že mnohé z hier skončili skutočne s pozoruhodne kladným výsledkom, pričom najvyššia výhra je 26 (pri výhre zaknihujeme +1, pri prehre -1). Najvyššia prehra je niekde na úrovni -40. 

Ak máme šťastie pri hre s negatívnym matematickým očakávaním, tak dokážeme v krátkodobom časovom horizonte dosiahnuť aj pozitívny výsledok. Je to tak aj z pohľadu dlhodobej hry?

Skúsme si to overiť pri pokračovaní vsádzania na jednu farbu pri rulete a pozrime sa na výsledky, aké by sme dosiahli po 1000 hrách v 1000 simuláciách.

Pri 1000 hrách sa vidina úspešného konca v kasíne začína rozplývať. 1000 simulácií vývoja nám naznačuje, že napriek zopár kladným výsledkom, veľká väčšina simulácií bola stratová.

Najlepší výsledok bol stále pozoruhodných 52, avšak najväčšia strata dosiahla až -160. Po 1000 simuláciách je už viac menej jasné, kam mieri celkový výsledok experimentu. Pri ďalšom pokračovaní hry sa pravdepodobne dostaneme do oveľa viac negatívneho teritória.

Pozrime sa ešte, či je tomu skutočne tak, ak budeme pokračovať v hre aj naďalej a zostaneme pri stole počas 10000 hier.

V tisícke simulácií 10 tis. stávok pri americkej rulete vidíme, že nie je žiadna šanca, aby sme po takomto dlhom stávkovaní odišli od stola s pozitívnym výsledkom.

Očakávaný výsledok je v rozmedzí -150 až -870. Čím ďalej budeme pokračovať, tým horšie dopadneme. Riešením teda nie je zostať pri stole dlhšie a veriť v obrat. Negatívne matematické očakávanie v kombinácii so zákonom veľkých čísiel hrá nekompromisne v náš neprospech a dlhšia hra bude iba prehlbovať výsledkovú agóniu.

Aká je teda najlepšia stratégia pri americkej rulete? 

Najlepšie je ju nehrať vôbec. Ak už predsa len hráte a náhodou ste v pluse, tak sa treba zodvihnúť a ísť preplatiť žetóny. Čím dlhšie budete ruletu hrať, tým väčšia je šanca, že sa vaše šťastie obráti a vy odídete domov so stratou.

Späť k príkladu z úvodu

Vráťme sa teraz k príkladu zo začiatku článku. 

Pri prvej otázke si väčšina vyberie istotu a chce 10 EUR bez ohľadu na výsledok hodu mincou. Pozrime sa však na matematické očakávanie jednotlivých možností:

1.a.     

E=(0,5)(50)+(0,5)(0)=25 EUR

1.b.    

E=(1)(20)+(0)(0)=10 EUR

Prvé riešenie má väčšie matematické očakávanie ako druhé. Z krátkodobého hľadiska sa zdá byť lepším riešením brať istotu 10 EUR. Z dlhodobého hľadiska ak sa rozhodujete takýmto spôsobom, tak celkom isto prichádzate o finančné prostriedky.

Uskutočnili sme 1000 simulácií, kde sme porovnali možné výsledky. Zelené čiary predstavujú simuláciu priebehu výsledkov, ak si zakaždým vyberieme možnosť a), modrá čiara ukazuje vývoj, ak si zakaždým vyberieme možnosť b). Pri možnosti b) čiara lineárne rastie vždy o 10 EUR. 

Už po 250 opakovaniach možnosti a) vidíme, že všetky možné scenáre vývoja sú nad modrou čiarou výsledku b). Výhodnosť voľby a) je však viditeľná počas celého priebehu pokusu. S narastajúcim počtom pokusov by sa výhodnosť riešenia a) iba zväčšovala – vzdialenosť zeleného spektra výsledkov od modrej čiary by bola čoraz väčšia.

Zákon veľkých čísiel vám pri mnohých opakovaniach zabezpečí oveľa väčší benefit, ak budete brať do úvahy matematické očakávania jednotlivých udalostí. Pri opakovaní takýchto alebo podobných rozhodnutí je lepšie najskôr dôkladne zhodnotiť pravdepodobnosti a ekonomický prínos jednotlivých riešení v dlhodobom horizonte.

Pozrime sa na výsledky pri druhej otázke:

2.a.     

E=(0,5)(-50)+(0,5)(0)=-25 EUR

2.b.    

E=(1)(-20)+(0)(0)=-10 EUR

Je to zrkadlovo otočený príklad ako pri prvej otázke, avšak väčšina ľudí sa v tomto prípade rozhodne pre prvú možnosť. Ľudia sú citliví na okamžité straty a radšej podstúpia riziko, ak vidia možnosť sa im nejakým spôsobom vyhnúť.

Ekonomickejšie by však v tomto prípade bolo zvoliť možnosť b), keďže matematické očakávanie výsledku v peňažnom vyjadrení je v tomto prípade priaznivejšie. Po 250 pokusoch je modrá čiara nad celým oranžovým spektrom výsledkov z možnosti a).

Ďalším zaujímavým výsledkom z oboch príkladov je fakt, že pokiaľ ide o zisky, tak sme skôr náchylní ich vyberať čo najskôr bez ohľadu na alternatívy.

Ak však niekde vidíme takmer istú stratu, tak sme ochotní riskovať a hrať ďalej s vidinou jej eliminácie, aj keď podmienky nie sú tomu príliš naklonené.

Pri investovaní je pravdepodobnosť na vašej strane

Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch stávkovania fungujú zákony pravdepodobnosti aj v investovaní a sú základným predpokladom jeho úspechu.

V krátkom čase môže štandardná odchýlka spôsobiť, že investovanie do indexových fondov ETF je menej predpovedateľné. Ak však túto investíciu držíme dlhodobo, zákon veľkých čísiel a približovanie k dlhodobým priemerným výsledkom bude pôsobiť čím ďalej, tým výraznejšie na kladné zhodnotenie.

Čas väčšinou hrá proti nám a sťažujeme sa na jeho nedostatok. Pri investovaní to však neplatí. Čím viac času poskytneme pasívnemu investovaniu, tým lepší výsledok môžeme očakávať.

Pri investovaní sa držte vedy a overených teórií, nepodliehajte pri investovaní emóciám. Investovanie je beh na dlhú trať. Krátkodobé výkyvy nie sú podstatné. Pravdepodobnosť je na strane pasívnych investorov a nie je dôvod mať iné očakávania. 

Na fakty o pravdepodobnosti a prislúchajúcich teóriách budeme v budúcnosti nadväzovať ďalšími článkami, ktoré sa budú detailnejšie dotýkať konkrétnych aktív a praktického investovania vo vzťahu k dlhodobým štatistickým výsledkom.